Demostración china del teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es y será siempre de esas cosas que, una vez aprendidas, dificilmente olvidamos:

El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos

O expresado algebraicamente:
h^2 = c^2 + c^2
De todos modos es improbable que el teorema fuese descubierto por Pitágoras, sino que las primeras informaciones que tenemos vienen de China en el año 1000 a.C. aproximadamente.

Partimos del área de un triángulo, que es:
área = (base * altura) / 2

Podemos llegar a la demostración siguiendo unos pocos pasos. En primer lugar, dibujamos un triángulo rectángulo llamando “a” y “b” a sus catetos y “h” a la hipotenusa:

Ahora, podemos replicarla mediante giros de 90º para formar un cuadrado con este aspecto:

Es fácil ver que se forman dos cuadrados. El lado del cuadrado externo es la suma de “a” y “b” y por lo tanto su área es:
área 1 = (a + b)^2
El cuadrado interno tiene como lado la hipotenusa de los triángulos. Su área será entonces:
área 2 = h^2
Y tambien tenemos cuatro triángulos, por lo que su área será evidentemente…
área 3 = 4 * (base * altura) / 2

Con un poco de atención, nos damos cuenta de que el área del cuadrado exterior es igual al área del cuadrado interior más el área de los cuatro triángulos, así que:
área 1 = área 2 + área 3
Sustituímos:
(a + b)^2 = h^2 + 4*(b*a) / 2
Deshacemos el primer paréntesis como una igualdad notable y a la derecha del igual vemos que multiplicar por 4 y dividir por 2 se simplifica directamente en multiplicar por 2.
a^2 + b^2 + 2*a*b = h^2 + 2*b*a
Simplificamos los dos términos que son iguales (es decir, 2*a*b = 2*b*a) y directamente obtenemos…
a^2 + b^2 = h^2

¿No es una bella demostración? 😀

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6 pensamientos en “Demostración china del teorema de Pitágoras

  1. Es realmente bella, pero si observas . .
    c^2 = (a+b)^2 – 4 (ab/2)
    y que c^2 = (a-b)^2 + 4 (ab/2) y sumas miembro a miembro y simplificas
    tienes que: 2c^2 = 2a^2 + 2b^2 y ahora divides por 2
    tenemos que c^ 2 = a^2 + b^2

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    • Hola Point,

      desde luego:
      c^2 = (a+b)^2 – 4 (ab/2)
      no es lo mismo que:
      c^2 = (a-b)^2 + 4 (ab/2)
      Y por supuesto (a-b)^2 es una igualdad notable que se resuelve:
      (a-b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
      No entiendo como puedes llegar hasta: 2c^2 = 2a^2 + 2b^2

      De todas formas, gracias por comentar la entrada 🙂

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      • Hola Emilio !!
        Desde luego que no es lo mismo c^2 = (a+b)^2 – 4(ab/2) que
        c^2 = (a – b)^2 + 4(ab/2) pero
        son dos expresiones equivalente para c^2 y si las sumamos miembro a miembro, expandiendo y simplificando tenemos:
        c^2 = (a+b)^2 – 4(ab/2) +
        c^2 = (a – b)^2 + 4(ab/2)
        ______________________________________
        2c^2 = 2a^2 + 2b^2 Ahora
        si dividimos por 2 la expresión, tenemos que:
        c^ 2 = a^2 + b^2

        Espero lo hayas entendido.

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  2. Demostración visual del área del círculo | Emilio Devesa

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